10x^2+32x-23=0 megoldása

$$10 x ^ { 2 } + 32 x - 23 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}\approx 0,604540769$$

$$x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}\approx -3,804540769$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$10x^{2}+32x-23=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 10 értéket a-ba, a(z) 32 értéket b-be és a(z) -23 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 10\left(-23\right)}}{2\times 10}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 10\left(-23\right)}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 10.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-40\left(-23\right)}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -40 és -23.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+920}}{2\times 10}$$

Összeadjuk a következőket: 1024 és 920.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1944}}{2\times 10}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1944.

$$x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 10.

$$x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{20}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{20}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -32 és 18\sqrt{6}.

$$x=\frac{18\sqrt{6}-32}{20}$$

-32+18\sqrt{6} elosztása a következővel: 20.

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{20}). ± előjele negatív. 18\sqrt{6} kivonása a következőből: -32.

$$x=\frac{-18\sqrt{6}-32}{20}$$

-32-18\sqrt{6} elosztása a következővel: 20.

$$x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5} x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$10x^{2}+32x-23=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 23.

$$10x^{2}+32x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -23 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$10x^{2}+32x=-\left(-23\right)$$

-23 kivonása a következőből: 0.

$$10x^{2}+32x=23$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 10.

$$\frac{10x^{2}+32x}{10}=\frac{23}{10}$$

A(z) 10 értékkel való osztás eltünteti a(z) 10 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{32}{10}x=\frac{23}{10}$$

A törtet (\frac{32}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x=\frac{23}{10}$$

Elosztjuk a(z) \frac{16}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{8}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{8}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{23}{10}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{8}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{23}{10}+\frac{64}{25}$$

\frac{23}{10} és \frac{64}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{243}{50}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{243}{50}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{243}{50}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{8}{5}=\frac{9\sqrt{6}}{10} x+\frac{8}{5}=-\frac{9\sqrt{6}}{10}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{8}{5}.

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5} x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$