10k^2+9k-1=0 megoldása

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Megoldás a(z) k változóra

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 10k^{2}+ak+bk-1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -10.

$$-1,10 -2,5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 9.

$$a=-1 b=10$$

Átírjuk az értéket (10k^{2}+9k-1) \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right) alakban.

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Emelje ki a(z) k elemet a(z) 10k^{2}-k kifejezésből.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 10k-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 10k-1=0 és a k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 10 értéket a-ba, a(z) 9 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -40 és -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-9±11}{20}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -9 és 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

A törtet (\frac{2}{20}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$k=\frac{1}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-9±11}{20}). ± előjele negatív. 11 kivonása a következőből: -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

-20 elosztása a következővel: 20.

$$k=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

A(z) 10 értékkel való osztás eltünteti a(z) 10 értékkel való szorzást.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Elosztjuk a(z) \frac{9}{10} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{9}{20}. Ezután hozzáadjuk \frac{9}{20} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

A(z) \frac{9}{20} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

\frac{1}{10} és \frac{81}{400} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Tényezőkre k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Egyszerűsítünk.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{9}{20}.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$