10x^2-21x+8=0 megoldása

$$10 { x }^{ 2 } -21x+8=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 10x^{2}+ax+bx+8 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-21 ab=10\times 8=80$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 80.

$$-1,-80 -2,-40 -4,-20 -5,-16 -8,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-80=-81 -2-40=-42 -4-20=-24 -5-16=-21 -8-10=-18$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -21.

$$a=-16 b=-5$$

Átírjuk az értéket (10x^{2}-21x+8) \left(10x^{2}-16x\right)+\left(-5x+8\right) alakban.

$$\left(10x^{2}-16x\right)+\left(-5x+8\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$2x\left(5x-8\right)-\left(5x-8\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x-8 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x-8\right)\left(2x-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 5x-8=0 és a 2x-1=0.

$$x=\frac{8}{5} x=\frac{1}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$10x^{2}-21x+8=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 10 értéket a-ba, a(z) -21 értéket b-be és a(z) 8 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 10\times 8}}{2\times 10}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 10\times 8}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 10.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-40\times 8}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -40 és 8.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-320}}{2\times 10}$$

Összeadjuk a következőket: 441 és -320.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 121.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±11}{2\times 10}$$

-21 ellentettje 21.

$$x=\frac{21±11}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 10.

$$x=\frac{21±11}{20}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{21±11}{20}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 21 és 11.

$$x=\frac{32}{20}$$

A törtet (\frac{32}{20}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{8}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{21±11}{20}). ± előjele negatív. 11 kivonása a következőből: 21.

$$x=\frac{10}{20}$$

A törtet (\frac{10}{20}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{8}{5} x=\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$10x^{2}-21x+8=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 8.

$$10x^{2}-21x+8-8=-8$$

Ha kivonjuk a(z) 8 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$10x^{2}-21x=-8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 10.

$$\frac{10x^{2}-21x}{10}=-\frac{8}{10}$$

A(z) 10 értékkel való osztás eltünteti a(z) 10 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{21}{10}x=-\frac{8}{10}$$

A törtet (\frac{-8}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{21}{10}x=-\frac{4}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{21}{10} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{21}{20}. Ezután hozzáadjuk -\frac{21}{20} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{21}{10}x+\left(-\frac{21}{20}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(-\frac{21}{20}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{21}{20} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{21}{10}x+\frac{441}{400}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{400}$$

-\frac{4}{5} és \frac{441}{400} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{21}{10}x+\frac{441}{400}=\frac{121}{400}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{21}{10}x+\frac{441}{400}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{21}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{21}{20}=\frac{11}{20} x-\frac{21}{20}=-\frac{11}{20}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{21}{20}.

$$x=\frac{8}{5} x=\frac{1}{2}$$