10x^2+10x+8=3x^2-10x+11 megoldása

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{2}.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Összevonjuk a következőket: 10x^{2} és -3x^{2}. Az eredmény 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 10x.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Összevonjuk a következőket: 10x és 10x. Az eredmény 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 11.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Kivonjuk a(z) 11 értékből a(z) 8 értéket. Az eredmény -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 7x^{2}+ax+bx-3 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -21.

$$-1,21 -3,7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 20.

$$a=-1 b=21$$

Átírjuk az értéket (7x^{2}+20x-3) \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right) alakban.

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 3 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 7x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 7x-1=0 és x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{2}.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Összevonjuk a következőket: 10x^{2} és -3x^{2}. Az eredmény 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 10x.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Összevonjuk a következőket: 10x és 10x. Az eredmény 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 11.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Kivonjuk a(z) 11 értékből a(z) 8 értéket. Az eredmény -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 7 értéket a-ba, a(z) 20 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -28 és -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 484.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±22}{14}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -20 és 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

A törtet (\frac{2}{14}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{7}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±22}{14}). ± előjele negatív. 22 kivonása a következőből: -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

-42 elosztása a következővel: 14.

$$x=-3$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{2}.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Összevonjuk a következőket: 10x^{2} és -3x^{2}. Az eredmény 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 10x.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Összevonjuk a következőket: 10x és 10x. Az eredmény 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Kivonjuk a(z) 8 értékből a(z) 11 értéket. Az eredmény 3.

$$7x^{2}+20x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

A(z) 7 értékkel való osztás eltünteti a(z) 7 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Elosztjuk a(z) \frac{20}{7} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{10}{7}. Ezután hozzáadjuk \frac{10}{7} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

A(z) \frac{10}{7} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

\frac{3}{7} és \frac{100}{49} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

A(z) x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{10}{7}.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$