10^2+x^2=8^2-(12-x)^2 megoldása

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7,348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7,348469228i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Kiszámoljuk a(z) 10 érték 2. hatványát. Az eredmény 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) 8 érték 2. hatványát. Az eredmény 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(12-x\right)^{2}).

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

144-24x+x^{2} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Kivonjuk a(z) 144 értékből a(z) 64 értéket. Az eredmény -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: -80.

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

-80 ellentettje 80.

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 24x.

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 80. Az eredmény 180.

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x^{2}.

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és x^{2}. Az eredmény 2x^{2}.

$$180+2x^{2}-24x=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-24x+180=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -24 értéket b-be és a(z) 180 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 180.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 576 és -1440.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -864.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

-24 ellentettje 24.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 24 és 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

24+12i\sqrt{6} elosztása a következővel: 4.

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}). ± előjele negatív. 12i\sqrt{6} kivonása a következőből: 24.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

24-12i\sqrt{6} elosztása a következővel: 4.

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Kiszámoljuk a(z) 10 érték 2. hatványát. Az eredmény 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) 8 érték 2. hatványát. Az eredmény 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(12-x\right)^{2}).

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

144-24x+x^{2} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Kivonjuk a(z) 144 értékből a(z) 64 értéket. Az eredmény -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 24x.

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x^{2}.

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és x^{2}. Az eredmény 2x^{2}.

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 100.

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

Kivonjuk a(z) 100 értékből a(z) -80 értéket. Az eredmény -180.

$$2x^{2}-24x=-180$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

-24 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

-180 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-12x=-90$$

Elosztjuk a(z) -12 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -6. Ezután hozzáadjuk -6 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -6.

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

Összeadjuk a következőket: -90 és 36.

$$x^{2}-12x+36=-54$$

Tényezőkre x^{2}-12x+36. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 6.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$