0=7x^2+16x-15 megoldása

$$0 = 7 x ^ { 2 } + 16 x - 15$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-3$$

$$x=\frac{5}{7}\approx 0,714285714$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$7x^{2}+16x-15=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 7x^{2}+ax+bx-15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=16 ab=7\left(-15\right)=-105$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 16.

$$a=-5 b=21$$

Átírjuk az értéket (7x^{2}+16x-15) \left(7x^{2}-5x\right)+\left(21x-15\right) alakban.

$$\left(7x^{2}-5x\right)+\left(21x-15\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$x\left(7x-5\right)+3\left(7x-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 7x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(7x-5\right)\left(x+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 7x-5=0 és a x+3=0.

$$x=\frac{5}{7} x=-3$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$7x^{2}+16x-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 7 értéket a-ba, a(z) 16 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 7.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -28 és -15.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 7}$$

Összeadjuk a következőket: 256 és 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 7}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 7.

$$x=\frac{-16±26}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-16±26}{14}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -16 és 26.

$$x=\frac{10}{14}$$

A törtet (\frac{10}{14}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{5}{7}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-16±26}{14}). ± előjele negatív. 26 kivonása a következőből: -16.

$$x=-\frac{42}{14}$$

-42 elosztása a következővel: 14.

$$x=-3$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5}{7} x=-3$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$7x^{2}+16x-15=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 15. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$7x^{2}+16x=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$\frac{7x^{2}+16x}{7}=\frac{15}{7}$$

A(z) 7 értékkel való osztás eltünteti a(z) 7 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{16}{7}x=\frac{15}{7}$$

Elosztjuk a(z) \frac{16}{7} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{8}{7}. Ezután hozzáadjuk \frac{8}{7} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{16}{7}x+\left(\frac{8}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(\frac{8}{7}\right)^{2}$$

A(z) \frac{8}{7} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{16}{7}x+\frac{64}{49}=\frac{15}{7}+\frac{64}{49}$$

\frac{15}{7} és \frac{64}{49} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{16}{7}x+\frac{64}{49}=\frac{169}{49}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{16}{7}x+\frac{64}{49}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{8}{7}\right)^{2}=\frac{169}{49}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{49}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{8}{7}=\frac{13}{7} x+\frac{8}{7}=-\frac{13}{7}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{8}{7}.

$$x=\frac{5}{7} x=-3$$