0=(3x-7)(3x+11) megoldása

$$0 = ( 3 x - 7 ) ( 3 x + 11 )$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3,666666667$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-7 és 3x+11), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$0=9x^{2}+12x-77$$

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$9x^{2}+12x-77=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 9x^{2}+ax+bx-77 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=12 ab=9\left(-77\right)=-693$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -693.

$$-1,693 -3,231 -7,99 -9,77 -11,63 -21,33$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+693=692 -3+231=228 -7+99=92 -9+77=68 -11+63=52 -21+33=12$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 12.

$$a=-21 b=33$$

Átírjuk az értéket (9x^{2}+12x-77) \left(9x^{2}-21x\right)+\left(33x-77\right) alakban.

$$\left(9x^{2}-21x\right)+\left(33x-77\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 11 faktort.

$$3x\left(3x-7\right)+11\left(3x-7\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-7 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-7\right)\left(3x+11\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x-7=0 és a 3x+11=0.

$$x=\frac{7}{3} x=-\frac{11}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-7 és 3x+11), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$0=9x^{2}+12x-77$$

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$9x^{2}+12x-77=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) 12 értéket b-be és a(z) -77 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\left(-77\right)}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\left(-77\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-36\left(-77\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és -77.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+2772}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 144 és 2772.

$$x=\frac{-12±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2916.

$$x=\frac{-12±54}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{-12±54}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-12±54}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -12 és 54.

$$x=\frac{42}{18}$$

A törtet (\frac{42}{18}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{7}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-12±54}{18}). ± előjele negatív. 54 kivonása a következőből: -12.

$$x=-\frac{66}{18}$$

A törtet (\frac{-66}{18}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{7}{3} x=-\frac{11}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-7 és 3x+11), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$0=9x^{2}+12x-77$$

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$9x^{2}+12x-77=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 77. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$9x^{2}+12x=77$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}+12x}{9}=\frac{77}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{12}{9}x=\frac{77}{9}$$

A törtet (\frac{12}{9}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{77}{9}$$

Elosztjuk a(z) \frac{4}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{2}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{2}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{77}{9}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{2}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{77+4}{9}$$

\frac{77}{9} és \frac{4}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=9$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=9$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{2}{3}=3 x+\frac{2}{3}=-3$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{2}{3}.

$$x=\frac{7}{3} x=-\frac{11}{3}$$