-5x^2+200x+30000=3200 megoldása

$$-5 { x }^{ 2 } +200x+30000=3200$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=24\sqrt{10}+20\approx 95.894663844$$

$$x=20-24\sqrt{10}\approx -55.894663844$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-5x^{2}+200x+30000=3200$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3200.

$$-5x^{2}+200x+30000-3200=3200-3200$$

Ha kivonjuk a(z) 3200 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-5x^{2}+200x+30000-3200=0$$

3200 kivonása a következőből: 30000.

$$-5x^{2}+200x+26800=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -5 értéket a-ba, a(z) 200 értéket b-be és a(z) 26800 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\left(-5\right)\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 200.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\left(-5\right)\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -5.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+20\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 20 és 26800.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+536000}}{2\left(-5\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 40000 és 536000.

$$x=\frac{-200±\sqrt{576000}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 576000.

$$x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -5.

$$x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -200 és 240\sqrt{10}.

$$x=\frac{240\sqrt{10}-200}{-10}$$

-200+240\sqrt{10} elosztása a következővel: -10.

$$x=20-24\sqrt{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10}). ± előjele negatív. 240\sqrt{10} kivonása a következőből: -200.

$$x=\frac{-240\sqrt{10}-200}{-10}$$

-200-240\sqrt{10} elosztása a következővel: -10.

$$x=24\sqrt{10}+20$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=20-24\sqrt{10} x=24\sqrt{10}+20$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-5x^{2}+200x+30000=3200$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 30000.

$$-5x^{2}+200x+30000-30000=3200-30000$$

Ha kivonjuk a(z) 30000 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-5x^{2}+200x=3200-30000$$

30000 kivonása a következőből: 3200.

$$-5x^{2}+200x=-26800$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$\frac{-5x^{2}+200x}{-5}=-\frac{26800}{-5}$$

A(z) -5 értékkel való osztás eltünteti a(z) -5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{200}{-5}x=-\frac{26800}{-5}$$

200 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-40x=-\frac{26800}{-5}$$

-26800 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-40x=5360$$

Elosztjuk a(z) -40 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -20. Ezután hozzáadjuk -20 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=5360+\left(-20\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -20.

$$x^{2}-40x+400=5360+400$$

Összeadjuk a következőket: 5360 és 400.

$$x^{2}-40x+400=5760$$

A(z) x^{2}-40x+400 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-20\right)^{2}=5760$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{5760}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-20=24\sqrt{10} x-20=-24\sqrt{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 20.

$$x=24\sqrt{10}+20 x=20-24\sqrt{10}$$