-4x^2+20x-47=0 megoldása

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -4 értéket a-ba, a(z) 20 értéket b-be és a(z) -47 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 16 és -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -20 és 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

-20+4i\sqrt{22} elosztása a következővel: -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}). ± előjele negatív. 4i\sqrt{22} kivonása a következőből: -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

-20-4i\sqrt{22} elosztása a következővel: -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 47.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -47 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

-47 kivonása a következőből: 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

A(z) -4 értékkel való osztás eltünteti a(z) -4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

20 elosztása a következővel: -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

47 elosztása a következővel: -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Elosztjuk a(z) -5 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

-\frac{47}{4} és \frac{25}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Tényezőkre x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{2}.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$