-3(x-9)(2+x)>0 megoldása

$$-3(x-9)(2+x) > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-2,9\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -3 és x-9.

$$\left(-3x+27\right)\left(2+x\right)>0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-3x+27 és 2+x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$21x-3x^{2}+54>0$$

Megszorozzuk az egyenlőtlenséget mínusz 1-gyel, hogy pozitív legyen a kifejezésben (21x-3x^{2}+54) szereplő legnagyobb hatvány együtthatója. A(z) -1 negatív, ezért az egyenlőtlenség iránya megváltozik.

$$-21x+3x^{2}-54<0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$-21x+3x^{2}-54=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -21 értéket b-be és a(z) -54 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 3\left(-54\right)}}{2\times 3}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{21±33}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{21±33}{6}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=9 x=-2$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$3\left(x-9\right)\left(x+2\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-9 és x+2) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-9 eredménye pozitív, x+2 eredménye pedig negatív.

$$x-9>0 x+2<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x+2 eredménye pozitív, x-9 eredménye pedig negatív.

$$x+2>0 x-9<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(-2,9\right).

$$x\in \left(-2,9\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(-2,9\right)$$