-3x^2-8x+16=0 megoldása

$$-3 { x }^{ 2 } -8x+16=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=-4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -3x^{2}+ax+bx+16 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-8 ab=-3\times 16=-48$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -8.

$$a=4 b=-12$$

Átírjuk az értéket (-3x^{2}-8x+16) \left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right) alakban.

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right)$$

A -x a második csoportban lévő első és -4 faktort.

$$-x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x-4=0 és a -x-4=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) 16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\left(-3\right)}$$

-8 ellentettje 8.

$$x=\frac{8±16}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$x=\frac{8±16}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±16}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 16.

$$x=\frac{24}{-6}$$

24 elosztása a következővel: -6.

$$x=-4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±16}{-6}). ± előjele negatív. 16 kivonása a következőből: 8.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

A törtet (\frac{-8}{-6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{4}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-4 x=\frac{4}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 16.

$$-3x^{2}-8x+16-16=-16$$

Ha kivonjuk a(z) 16 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-3x^{2}-8x=-16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{16}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{16}{-3}$$

-8 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{16}{-3}$$

-16 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{16}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{8}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{4}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{4}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{4}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{16}{3}+\frac{16}{9}$$

\frac{16}{3} és \frac{16}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{64}{9}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$