-3x^2+16x+128=0 megoldása

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9,722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4,388670163$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) 16 értéket b-be és a(z) 128 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 256 és 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -16 és 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

-16+16\sqrt{7} elosztása a következővel: -6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}). ± előjele negatív. 16\sqrt{7} kivonása a következőből: -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

-16-16\sqrt{7} elosztása a következővel: -6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 128.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

Ha kivonjuk a(z) 128 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

16 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

-128 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{16}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{8}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{8}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{8}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

\frac{128}{3} és \frac{64}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{8}{3}.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$