-x^2-x-1=0 megoldása

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

-1 ellentettje 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

1+i\sqrt{3} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}). ± előjele negatív. i\sqrt{3} kivonása a következőből: 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

1-i\sqrt{3} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$-x^{2}-x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

-1 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

1 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}+x=-1$$

Elosztjuk a(z) 1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$