-x^2+90x-75=20 megoldása

$$- x ^ { 2 } + 90 x - 75 = 20$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{1930}+45\approx 88,931765273$$

$$x=45-\sqrt{1930}\approx 1,068234727$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 20.

$$-x^{2}+90x-75-20=20-20$$

Ha kivonjuk a(z) 20 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-x^{2}+90x-75-20=0$$

20 kivonása a következőből: -75.

$$-x^{2}+90x-95=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 90 értéket b-be és a(z) -95 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+4\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -95.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-380}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 8100 és -380.

$$x=\frac{-90±\sqrt{7720}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 7720.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -90 és 2\sqrt{1930}.

$$x=\frac{2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

-90+2\sqrt{1930} elosztása a következővel: -2.

$$x=45-\sqrt{1930}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{1930} kivonása a következőből: -90.

$$x=\frac{-2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

-90-2\sqrt{1930} elosztása a következővel: -2.

$$x=\sqrt{1930}+45$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=45-\sqrt{1930} x=\sqrt{1930}+45$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 75.

$$-x^{2}+90x-75-\left(-75\right)=20-\left(-75\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -75 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-x^{2}+90x=20-\left(-75\right)$$

-75 kivonása a következőből: 20.

$$-x^{2}+90x=95$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+90x}{-1}=\frac{95}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{90}{-1}x=\frac{95}{-1}$$

90 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-90x=\frac{95}{-1}$$

95 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-90x=-95$$

Elosztjuk a(z) -90 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -45. Ezután hozzáadjuk -45 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-95+\left(-45\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -45.

$$x^{2}-90x+2025=-95+2025$$

Összeadjuk a következőket: -95 és 2025.

$$x^{2}-90x+2025=1930$$

Tényezőkre x^{2}-90x+2025. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-45\right)^{2}=1930$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{1930}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-45=\sqrt{1930} x-45=-\sqrt{1930}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 45.

$$x=\sqrt{1930}+45 x=45-\sqrt{1930}$$