-x^2+14x-40=0 megoldása

$$- x ^ { 2 } + 14 x - 40 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=4$$

$$x=10$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -x^{2}+ax+bx-40 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=14 ab=-\left(-40\right)=40$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 40.

$$1,40 2,20 4,10 5,8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+40=41 2+20=22 4+10=14 5+8=13$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 14.

$$a=10 b=4$$

Átírjuk az értéket (-x^{2}+14x-40) \left(-x^{2}+10x\right)+\left(4x-40\right) alakban.

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(4x-40\right)$$

A -x a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$-x\left(x-10\right)+4\left(x-10\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-10 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-10\right)\left(-x+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-10=0 és a -x+4=0.

$$x=10 x=4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+14x-40=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 14 értéket b-be és a(z) -40 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -40.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-160}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és -160.

$$x=\frac{-14±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 36.

$$x=\frac{-14±6}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-14±6}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±6}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -14 és 6.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

-8 elosztása a következővel: -2.

$$x=4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±6}{-2}). ± előjele negatív. 6 kivonása a következőből: -14.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

-20 elosztása a következővel: -2.

$$x=10$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4 x=10$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+14x-40=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 40.

$$-x^{2}+14x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -40 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-x^{2}+14x=-\left(-40\right)$$

-40 kivonása a következőből: 0.

$$-x^{2}+14x=40$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{40}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{40}{-1}$$

14 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-14x=\frac{40}{-1}$$

40 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-14x=-40$$

Elosztjuk a(z) -14 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -7. Ezután hozzáadjuk -7 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Összeadjuk a következőket: -40 és 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Tényezőkre x^{2}-14x+49. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$x=10 x=4$$