-5x^2+9x=-3 megoldása

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x = - 3$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{141} + 9}{10} \approx 2,087434209$$

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}\approx -0,287434209$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=0$$

-3 kivonása a következőből: 0.

$$-5x^{2}+9x+3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -5 értéket a-ba, a(z) 9 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 20 és 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+60}}{2\left(-5\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és 60.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -9 és \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-9}{-10}$$

-9+\sqrt{141} elosztása a következővel: -10.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}). ± előjele negatív. \sqrt{141} kivonása a következőből: -9.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-9}{-10}$$

-9-\sqrt{141} elosztása a következővel: -10.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10} x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

A(z) -5 értékkel való osztás eltünteti a(z) -5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{3}{-5}$$

9 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{3}{-5}$$

-3 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{3}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{9}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{9}{10}. Ezután hozzáadjuk -\frac{9}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{9}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

\frac{3}{5} és \frac{81}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{141}{100}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9}{10}.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$