-4x^2-5x-1=0 megoldása

$$- 4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x=-1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -4x^{2}+ax+bx-1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-5 ab=-4\left(-1\right)=4$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -5.

$$a=-1 b=-4$$

Átírjuk az értéket (-4x^{2}-5x-1) \left(-4x^{2}-x\right)+\left(-4x-1\right) alakban.

$$\left(-4x^{2}-x\right)+\left(-4x-1\right)$$

A -x a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$-x\left(4x+1\right)-\left(4x+1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 4x+1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(4x+1\right)\left(-x-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 4x+1=0 és a -x-1=0.

$$x=-\frac{1}{4} x=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-4x^{2}-5x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -4 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-1\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-4\right)\left(-1\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16\left(-1\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 16 és -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\left(-4\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\left(-4\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\left(-4\right)}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±3}{2\left(-4\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -4.

$$x=\frac{5±3}{-8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±3}{-8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és 3.

$$x=\frac{8}{-8}$$

8 elosztása a következővel: -8.

$$x=-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±3}{-8}). ± előjele negatív. 3 kivonása a következőből: 5.

$$x=\frac{2}{-8}$$

A törtet (\frac{2}{-8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-1 x=-\frac{1}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-4x^{2}-5x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$-4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$-4x^{2}-5x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$\frac{-4x^{2}-5x}{-4}=\frac{1}{-4}$$

A(z) -4 értékkel való osztás eltünteti a(z) -4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-4}\right)x=\frac{1}{-4}$$

-5 elosztása a következővel: -4.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{1}{-4}$$

1 elosztása a következővel: -4.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{8}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

-\frac{1}{4} és \frac{25}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{8}.

$$x=-\frac{1}{4} x=-1$$