-4b^2+22b-4=0 megoldása

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

Megoldás a(z) b változóra

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5,311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0,188262309$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -4 értéket a-ba, a(z) 22 értéket b-be és a(z) -4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 22.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 16 és -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 484 és -64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 420.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -22 és 2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

-22+2\sqrt{105} elosztása a következővel: -8.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}). ± előjele negatív. 2\sqrt{105} kivonása a következőből: -22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

-22-2\sqrt{105} elosztása a következővel: -8.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

-4 kivonása a következőből: 0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

A(z) -4 értékkel való osztás eltünteti a(z) -4 értékkel való szorzást.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

A törtet (\frac{22}{-4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

4 elosztása a következővel: -4.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

Elosztjuk a(z) -\frac{11}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

Tényezőkre b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{4}.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$