-3x^2-x+1>0 megoldása

$$- 3 x ^ { 2 } - x + 1 > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{13}-1}{6},\frac{\sqrt{13}-1}{6}\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Megszorozzuk az egyenlőtlenséget mínusz 1-gyel, hogy pozitív legyen a kifejezésben (-3x^{2}-x+1) szereplő legnagyobb hatvány együtthatója. A(z) -1 negatív, ezért az egyenlőtlenség iránya megváltozik.

$$3x^{2}+x-1<0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$3x^{2}+x-1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{13}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±\sqrt{13}}{6}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$3\left(x-\frac{\sqrt{13}-1}{6}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-\frac{\sqrt{13}-1}{6} és x-\frac{-\sqrt{13}-1}{6}) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{13}-1}{6} eredménye pozitív, x-\frac{-\sqrt{13}-1}{6} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{\sqrt{13}-1}{6}>0 x-\frac{-\sqrt{13}-1}{6}<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{-\sqrt{13}-1}{6} eredménye pozitív, x-\frac{\sqrt{13}-1}{6} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{-\sqrt{13}-1}{6}>0 x-\frac{\sqrt{13}-1}{6}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(\frac{-\sqrt{13}-1}{6},\frac{\sqrt{13}-1}{6}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{13}-1}{6},\frac{\sqrt{13}-1}{6}\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{13}-1}{6},\frac{\sqrt{13}-1}{6}\right)$$