-3x^2-24x-51=0 megoldása

$$- 3 x ^ { 2 } - 24 x - 51 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-4+i$$

$$x=-4-i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) -24 értéket b-be és a(z) -51 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+12\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és -51.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-612}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 576 és -612.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-36}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -36.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±6i}{2\left(-3\right)}$$

-24 ellentettje 24.

$$x=\frac{24±6i}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$x=\frac{24±6i}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{24±6i}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 24 és 6i.

$$x=\frac{24+6i}{-6}$$

24+6i elosztása a következővel: -6.

$$x=-4-i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{24±6i}{-6}). ± előjele negatív. 6i kivonása a következőből: 24.

$$x=\frac{24-6i}{-6}$$

24-6i elosztása a következővel: -6.

$$x=-4+i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-4-i x=-4+i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 51.

$$-3x^{2}-24x-51-\left(-51\right)=-\left(-51\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -51 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-3x^{2}-24x=-\left(-51\right)$$

-51 kivonása a következőből: 0.

$$-3x^{2}-24x=51$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3x^{2}-24x}{-3}=\frac{51}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-3}\right)x=\frac{51}{-3}$$

-24 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}+8x=\frac{51}{-3}$$

51 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}+8x=-17$$

Elosztjuk a(z) 8 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 4. Ezután hozzáadjuk 4 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-17+4^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x^{2}+8x+16=-17+16$$

Összeadjuk a következőket: -17 és 16.

$$x^{2}+8x+16=-1$$

A(z) x^{2}+8x+16 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+4\right)^{2}=-1$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+4=i x+4=-i$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$x=-4+i x=-4-i$$