-3x^2+5x+2geq0 megoldása

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Megszorozzuk az egyenlőtlenséget mínusz 1-gyel, hogy pozitív legyen a kifejezésben (-3x^{2}+5x+2) szereplő legnagyobb hatvány együtthatója. A(z) -1 negatív, ezért az egyenlőtlenség iránya megváltozik.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) -2 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±7}{6}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

A szorzat csak akkor ≤0, ha a két érték (x-2 és x+\frac{1}{3}) közül az egyik ≥0, a másik pedig ≤0. Tegyük fel, hogy x-2\geq 0 és x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-2\leq 0 és x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$