-3r^2+90r=93 megoldása

$$- 3 r ^ { 2 } + 90 r = 93$$

Megoldás a(z) r változóra

$$r=\sqrt{194}+15\approx 28,928388277$$

$$r=15-\sqrt{194}\approx 1,071611723$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-3r^{2}+90r=93$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 93.

$$-3r^{2}+90r-93=93-93$$

Ha kivonjuk a(z) 93 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-3r^{2}+90r-93=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) 90 értéket b-be és a(z) -93 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 90.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100+12\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és -93.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-1116}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 8100 és -1116.

$$r=\frac{-90±\sqrt{6984}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 6984.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -90 és 6\sqrt{194}.

$$r=\frac{6\sqrt{194}-90}{-6}$$

-90+6\sqrt{194} elosztása a következővel: -6.

$$r=15-\sqrt{194}$$

Megoldjuk az egyenletet (r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}). ± előjele negatív. 6\sqrt{194} kivonása a következőből: -90.

$$r=\frac{-6\sqrt{194}-90}{-6}$$

-90-6\sqrt{194} elosztása a következővel: -6.

$$r=\sqrt{194}+15$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$r=15-\sqrt{194} r=\sqrt{194}+15$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-3r^{2}+90r=93$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3r^{2}+90r}{-3}=\frac{93}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$r^{2}+\frac{90}{-3}r=\frac{93}{-3}$$

90 elosztása a következővel: -3.

$$r^{2}-30r=\frac{93}{-3}$$

93 elosztása a következővel: -3.

$$r^{2}-30r=-31$$

Elosztjuk a(z) -30 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -15. Ezután hozzáadjuk -15 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$r^{2}-30r+\left(-15\right)^{2}=-31+\left(-15\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -15.

$$r^{2}-30r+225=-31+225$$

Összeadjuk a következőket: -31 és 225.

$$r^{2}-30r+225=194$$

Tényezőkre r^{2}-30r+225. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(r-15\right)^{2}=194$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(r-15\right)^{2}}=\sqrt{194}$$

Egyszerűsítünk.

$$r-15=\sqrt{194} r-15=-\sqrt{194}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$r=\sqrt{194}+15 r=15-\sqrt{194}$$