-3(2x-1)+(x+1)(x-1)-5(x+2)=1 megoldása

$$- 3 ( 2 x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 5 ( x + 2 ) = 1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{157} + 11}{2} \approx 11,764982043$$

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}\approx -0,764982043$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -3 és 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Vegyük a következőt: \left(x+1\right)\left(x-1\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 3 értéket. Az eredmény 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -5 és x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Összevonjuk a következőket: -6x és -5x. Az eredmény -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Kivonjuk a(z) 10 értékből a(z) 2 értéket. Az eredmény -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$-11x-8+x^{2}-1=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) -8 értéket. Az eredmény -9.

$$-11x-9+x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-11x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -11 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-9\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+36}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és 36.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{157}}{2}$$

-11 ellentettje 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 11 és \sqrt{157}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}). ± előjele negatív. \sqrt{157} kivonása a következőből: 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -3 és 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Vegyük a következőt: \left(x+1\right)\left(x-1\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 3 értéket. Az eredmény 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -5 és x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Összevonjuk a következőket: -6x és -5x. Az eredmény -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Kivonjuk a(z) 10 értékből a(z) 2 értéket. Az eredmény -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 8.

$$-11x+x^{2}=1+8$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 8. Az eredmény 9.

$$-11x+x^{2}=9$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-11x=9$$

Elosztjuk a(z) -11 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=9+\frac{121}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{157}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$