-2x^2+12x-14>0 megoldása

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Megszorozzuk az egyenlőtlenséget mínusz 1-gyel, hogy pozitív legyen a kifejezésben (-2x^{2}+12x-14) szereplő legnagyobb hatvány együtthatója. Mivel -1 = <0, az egyenlőtlenség iránya megváltozik.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. Egy másodfokú polinom az ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) átalakítással bontható tényezőkre, ahol x_{1} és x_{2} a másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -12 értéket b-be és a(z) 14 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-\left(\sqrt{2}+3\right) és x-\left(3-\sqrt{2}\right)) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-\left(\sqrt{2}+3\right) eredménye pozitív, x-\left(3-\sqrt{2}\right) eredménye pedig negatív.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-\left(3-\sqrt{2}\right) eredménye pozitív, x-\left(\sqrt{2}+3\right) eredménye pedig negatív.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$