-y^2+10y+400=0 megoldása

$$- { y }^{ 2 } +10y+400=0$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y=5\sqrt{17}+5\approx 25,615528128$$

$$y=5-5\sqrt{17}\approx -15,615528128$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) 400 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 400.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+1600}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 1600.

$$y=\frac{-10±\sqrt{1700}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1700.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 10\sqrt{17}.

$$y=\frac{10\sqrt{17}-10}{-2}$$

-10+10\sqrt{17} elosztása a következővel: -2.

$$y=5-5\sqrt{17}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}). ± előjele negatív. 10\sqrt{17} kivonása a következőből: -10.

$$y=\frac{-10\sqrt{17}-10}{-2}$$

-10-10\sqrt{17} elosztása a következővel: -2.

$$y=5\sqrt{17}+5$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=5-5\sqrt{17} y=5\sqrt{17}+5$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 400.

$$-y^{2}+10y+400-400=-400$$

Ha kivonjuk a(z) 400 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-y^{2}+10y=-400$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=-\frac{400}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=-\frac{400}{-1}$$

10 elosztása a következővel: -1.

$$y^{2}-10y=-\frac{400}{-1}$$

-400 elosztása a következővel: -1.

$$y^{2}-10y=400$$

Elosztjuk a(z) -10 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -5. Ezután hozzáadjuk -5 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=400+\left(-5\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$y^{2}-10y+25=400+25$$

Összeadjuk a következőket: 400 és 25.

$$y^{2}-10y+25=425$$

Tényezőkre y^{2}-10y+25. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(y-5\right)^{2}=425$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{425}$$

Egyszerűsítünk.

$$y-5=5\sqrt{17} y-5=-5\sqrt{17}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$y=5\sqrt{17}+5 y=5-5\sqrt{17}$$