-16/5t^2+6t=45 megoldása

$$- \frac { 16 } { 5 } t ^ { 2 } + 6 t = 45$$

Megoldás a(z) t változóra

$$t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16}\approx 0,9375+3,630921887i$$

$$t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16}\approx 0,9375-3,630921887i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t=45$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 45.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t-45=45-45$$

Ha kivonjuk a(z) 45 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t-45=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -\frac{16}{5} értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) -45 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-\frac{16}{5}\right)\left(-45\right)}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-\frac{16}{5}\right)\left(-45\right)}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -\frac{16}{5}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36+\frac{64}{5}\left(-45\right)}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{64}{5} és -45.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-576}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és -576.

$$t=\frac{-6±\sqrt{-540}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -540.

$$t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -\frac{16}{5}.

$$t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -6 és 6i\sqrt{15}.

$$t=\frac{-6+6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}}$$

-6+6i\sqrt{15} elosztása a következővel: -\frac{32}{5}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -6+6i\sqrt{15} értéket megszorozzuk a(z) -\frac{32}{5} reciprokával.

$$t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}}). ± előjele negatív. 6i\sqrt{15} kivonása a következőből: -6.

$$t=\frac{-6\sqrt{15}i-6}{-\frac{32}{5}}$$

-6-6i\sqrt{15} elosztása a következővel: -\frac{32}{5}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -6-6i\sqrt{15} értéket megszorozzuk a(z) -\frac{32}{5} reciprokával.

$$t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16} t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t=45$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: -\frac{16}{5}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$\frac{-\frac{16}{5}t^{2}+6t}{-\frac{16}{5}}=\frac{45}{-\frac{16}{5}}$$

A(z) -\frac{16}{5} értékkel való osztás eltünteti a(z) -\frac{16}{5} értékkel való szorzást.

$$t^{2}+\frac{6}{-\frac{16}{5}}t=\frac{45}{-\frac{16}{5}}$$

6 elosztása a következővel: -\frac{16}{5}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) 6 értéket megszorozzuk a(z) -\frac{16}{5} reciprokával.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t=\frac{45}{-\frac{16}{5}}$$

45 elosztása a következővel: -\frac{16}{5}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) 45 értéket megszorozzuk a(z) -\frac{16}{5} reciprokával.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t=-\frac{225}{16}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{15}{8} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{15}{16}. Ezután hozzáadjuk -\frac{15}{16} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}=-\frac{225}{16}+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{15}{16} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t+\frac{225}{256}=-\frac{225}{16}+\frac{225}{256}$$

-\frac{225}{16} és \frac{225}{256} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t+\frac{225}{256}=-\frac{3375}{256}$$

Tényezőkre t^{2}-\frac{15}{8}t+\frac{225}{256}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(t-\frac{15}{16}\right)^{2}=-\frac{3375}{256}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(t-\frac{15}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3375}{256}}$$

Egyszerűsítünk.

$$t-\frac{15}{16}=\frac{15\sqrt{15}i}{16} t-\frac{15}{16}=-\frac{15\sqrt{15}i}{16}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{15}{16}.

$$t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16} t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16}$$