-1/3(x+2)(x-1/3)>0 megoldása

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{3} és x+2.

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} és x-\frac{1}{3}), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

Megszorozzuk az egyenlőtlenséget mínusz 1-gyel, hogy pozitív legyen a kifejezésben (-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}) szereplő legnagyobb hatvány együtthatója. A(z) -1 negatív, ezért az egyenlőtlenség iránya megváltozik.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) \frac{1}{3} értéket a-ba, a(z) \frac{5}{9} értéket b-be és a(z) -\frac{2}{9} értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-\frac{1}{3} és x+2) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-\frac{1}{3} eredménye pozitív, x+2 eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x+2 eredménye pozitív, x-\frac{1}{3} eredménye pedig negatív.

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$