(x-30)(162-3x)=420 megoldása

$$(x-30)(162-3x)=420$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=40$$

$$x=44$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-30 és 162-3x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$252x-3x^{2}-4860=420$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 420.

$$252x-3x^{2}-4860-420=0$$

Kivonjuk a(z) 420 értékből a(z) -4860 értéket. Az eredmény -5280.

$$252x-3x^{2}-5280=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-3x^{2}+252x-5280=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) 252 értéket b-be és a(z) -5280 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-252±\sqrt{252^{2}-4\left(-3\right)\left(-5280\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 252.

$$x=\frac{-252±\sqrt{63504-4\left(-3\right)\left(-5280\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$x=\frac{-252±\sqrt{63504+12\left(-5280\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és -5280.

$$x=\frac{-252±\sqrt{63504-63360}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 63504 és -63360.

$$x=\frac{-252±\sqrt{144}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 144.

$$x=\frac{-252±12}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$x=\frac{-252±12}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-252±12}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -252 és 12.

$$x=-\frac{240}{-6}$$

-240 elosztása a következővel: -6.

$$x=40$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-252±12}{-6}). ± előjele negatív. 12 kivonása a következőből: -252.

$$x=-\frac{264}{-6}$$

-264 elosztása a következővel: -6.

$$x=44$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=40 x=44$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-30 és 162-3x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$252x-3x^{2}-4860=420$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4860.

$$252x-3x^{2}=420+4860$$

Összeadjuk a következőket: 420 és 4860. Az eredmény 5280.

$$252x-3x^{2}=5280$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-3x^{2}+252x=5280$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3x^{2}+252x}{-3}=\frac{5280}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{252}{-3}x=\frac{5280}{-3}$$

252 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-84x=\frac{5280}{-3}$$

5280 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-84x=-1760$$

Elosztjuk a(z) -84 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -42. Ezután hozzáadjuk -42 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-84x+\left(-42\right)^{2}=-1760+\left(-42\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -42.

$$x^{2}-84x+1764=-1760+1764$$

Összeadjuk a következőket: -1760 és 1764.

$$x^{2}-84x+1764=4$$

Tényezőkre x^{2}-84x+1764. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-42\right)^{2}=4$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-42\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-42=2 x-42=-2$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 42.

$$x=44 x=40$$