(x+6)(x+3)(x-1)(x-2)=12x^2 megoldása

$$(x+6)(x+3)(x-1)(x-2)=12 { x }^{ 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{73}-7}{2}\approx 0,772001873$$

$$x=\frac{-\sqrt{73}-7}{2}\approx -7,772001873$$

$$x=3$$

$$x=-2$$

A megoldás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x+6 és x+3), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$\left(x^{2}+9x+18\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)=12x^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x^{2}+9x+18 és x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$\left(x^{3}+8x^{2}+9x-18\right)\left(x-2\right)=12x^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x^{3}+8x^{2}+9x-18 és x-2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{4}+6x^{3}-7x^{2}-36x+36=12x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 12x^{2}.

$$x^{4}+6x^{3}-7x^{2}-36x+36-12x^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: -7x^{2} és -12x^{2}. Az eredmény -19x^{2}.

$$x^{4}+6x^{3}-19x^{2}-36x+36=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 36 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±36,±18,±12,±9,±6,±4,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}+6x^{3}-19x^{2}-36x+36 értéket a(z) x+2 értékkel. Az eredmény x^{3}+4x^{2}-27x+18. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+4x^{2}-27x+18=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 18 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±18,±9,±6,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+4x^{2}-27x+18 értéket a(z) x-3 értékkel. Az eredmény x^{2}+7x-6. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+7x-6=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 7 értéket b-be és a(z) -6 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\left(-6\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{73}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}+7x-6=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{-\sqrt{73}-7}{2} x=\frac{\sqrt{73}-7}{2}$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=-2 x=3 x=\frac{-\sqrt{73}-7}{2} x=\frac{\sqrt{73}-7}{2}$$