(76-4x)(10+2x)=1080 megoldása

$$(76-4x)(10+2x)=1080$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=4$$

$$x=10$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (76-4x és 10+2x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1080.

$$760+112x-8x^{2}-1080=0$$

Kivonjuk a(z) 1080 értékből a(z) 760 értéket. Az eredmény -320.

$$-320+112x-8x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-8x^{2}+112x-320=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -8 értéket a-ba, a(z) 112 értéket b-be és a(z) -320 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 112.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -8.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544+32\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 32 és -320.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-10240}}{2\left(-8\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 12544 és -10240.

$$x=\frac{-112±\sqrt{2304}}{2\left(-8\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2304.

$$x=\frac{-112±48}{2\left(-8\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -8.

$$x=\frac{-112±48}{-16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-112±48}{-16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -112 és 48.

$$x=-\frac{64}{-16}$$

-64 elosztása a következővel: -16.

$$x=4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-112±48}{-16}). ± előjele negatív. 48 kivonása a következőből: -112.

$$x=-\frac{160}{-16}$$

-160 elosztása a következővel: -16.

$$x=10$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4 x=10$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (76-4x és 10+2x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 760.

$$112x-8x^{2}=1080-760$$

Kivonjuk a(z) 760 értékből a(z) 1080 értéket. Az eredmény 320.

$$112x-8x^{2}=320$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-8x^{2}+112x=320$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -8.

$$\frac{-8x^{2}+112x}{-8}=\frac{320}{-8}$$

A(z) -8 értékkel való osztás eltünteti a(z) -8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{112}{-8}x=\frac{320}{-8}$$

112 elosztása a következővel: -8.

$$x^{2}-14x=\frac{320}{-8}$$

320 elosztása a következővel: -8.

$$x^{2}-14x=-40$$

Elosztjuk a(z) -14 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -7. Ezután hozzáadjuk -7 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Összeadjuk a következőket: -40 és 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Tényezőkre x^{2}-14x+49. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$x=10 x=4$$