(2x-3)(2x+1)=5 megoldása

$$(2x-3)(2x+1)=5$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x=2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x-3 és 2x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$4x^{2}-4x-3=5$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5.

$$4x^{2}-4x-3-5=0$$

Kivonjuk a(z) 5 értékből a(z) -3 értéket. Az eredmény -8.

$$4x^{2}-4x-8=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) -8 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -8.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 128.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 144.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

-4 ellentettje 4.

$$x=\frac{4±12}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{4±12}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±12}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4 és 12.

$$x=\frac{16}{8}$$

16 elosztása a következővel: 8.

$$x=2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±12}{8}). ± előjele negatív. 12 kivonása a következőből: 4.

$$x=-\frac{8}{8}$$

-8 elosztása a következővel: 8.

$$x=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2 x=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x-3 és 2x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$4x^{2}-4x-3=5$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3.

$$4x^{2}-4x=5+3$$

Összeadjuk a következőket: 5 és 3. Az eredmény 8.

$$4x^{2}-4x=8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{8}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{8}{4}$$

-4 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-x=\frac{8}{4}$$

8 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-x=2$$

Elosztjuk a(z) -1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 2 és \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=2 x=-1$$