(2x^4+3x^3-11x^2+2x+4)=0 megoldása

$$(2 { x }^{ 4 } +3 { x }^{ 3 } -11 { x }^{ 2 } +2x+4)=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=1$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3,236067977$$

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 4 állandónak, és q osztója a(z) 2 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±2,±4,±1,±\frac{1}{2}$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 2x^{4}+3x^{3}-11x^{2}+2x+4 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény 2x^{3}+5x^{2}-6x-4. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$2x^{3}+5x^{2}-6x-4=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -4 állandónak, és q osztója a(z) 2 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±2,±4,±1,±\frac{1}{2}$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-\frac{1}{2}$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 2x^{3}+5x^{2}-6x-4 értéket a(z) 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 értékkel. Az eredmény x^{2}+2x-4. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+2x-4=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -4 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}+2x-4=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\sqrt{5}-1 x=\sqrt{5}-1$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-\frac{1}{2} x=-\sqrt{5}-1 x=\sqrt{5}-1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3,236067977$$

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 4 állandónak, és q osztója a(z) 2 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±2,±4,±1,±\frac{1}{2}$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 2x^{4}+3x^{3}-11x^{2}+2x+4 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény 2x^{3}+5x^{2}-6x-4. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$2x^{3}+5x^{2}-6x-4=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -4 állandónak, és q osztója a(z) 2 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±2,±4,±1,±\frac{1}{2}$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-\frac{1}{2}$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 2x^{3}+5x^{2}-6x-4 értéket a(z) 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 értékkel. Az eredmény x^{2}+2x-4. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+2x-4=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -4 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}+2x-4=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\sqrt{5}-1 x=\sqrt{5}-1$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-\frac{1}{2} x=-\sqrt{5}-1 x=\sqrt{5}-1$$