(100-x)(1300-5x)=32000 megoldása

$$(100-x)(1300-5x)=32000$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=80\sqrt{2}+180\approx 293,13708499$$

$$x=180-80\sqrt{2}\approx 66,86291501$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (100-x és 1300-5x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 32000.

$$130000-1800x+5x^{2}-32000=0$$

Kivonjuk a(z) 32000 értékből a(z) 130000 értéket. Az eredmény 98000.

$$98000-1800x+5x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-1800x+98000=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -1800 értéket b-be és a(z) 98000 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{\left(-1800\right)^{2}-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -1800.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-20\times 98000}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 98000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-1960000}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 3240000 és -1960000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{1280000}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1280000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

-1800 ellentettje 1800.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1800 és 800\sqrt{2}.

$$x=\frac{800\sqrt{2}+1800}{10}$$

1800+800\sqrt{2} elosztása a következővel: 10.

$$x=80\sqrt{2}+180$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}). ± előjele negatív. 800\sqrt{2} kivonása a következőből: 1800.

$$x=\frac{1800-800\sqrt{2}}{10}$$

1800-800\sqrt{2} elosztása a következővel: 10.

$$x=180-80\sqrt{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (100-x és 1300-5x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 130000.

$$-1800x+5x^{2}=32000-130000$$

Kivonjuk a(z) 130000 értékből a(z) 32000 értéket. Az eredmény -98000.

$$-1800x+5x^{2}=-98000$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-1800x=-98000$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-1800x}{5}=-\frac{98000}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{1800}{5}\right)x=-\frac{98000}{5}$$

-1800 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-360x=-\frac{98000}{5}$$

-98000 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-360x=-19600$$

Elosztjuk a(z) -360 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -180. Ezután hozzáadjuk -180 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-360x+\left(-180\right)^{2}=-19600+\left(-180\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -180.

$$x^{2}-360x+32400=-19600+32400$$

Összeadjuk a következőket: -19600 és 32400.

$$x^{2}-360x+32400=12800$$

Tényezőkre x^{2}-360x+32400. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-180\right)^{2}=12800$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-180\right)^{2}}=\sqrt{12800}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-180=80\sqrt{2} x-180=-80\sqrt{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 180.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$