(100-x)*(30+x)=4200 megoldása

$$(100-x) \times (30+x)=4200$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=30$$

$$x=40$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (100-x és 30+x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3000+70x-x^{2}=4200$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4200.

$$3000+70x-x^{2}-4200=0$$

Kivonjuk a(z) 4200 értékből a(z) 3000 értéket. Az eredmény -1200.

$$-1200+70x-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+70x-1200=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 70 értéket b-be és a(z) -1200 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\left(-1\right)\left(-1200\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\left(-1\right)\left(-1200\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+4\left(-1200\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -1200.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4800}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 4900 és -4800.

$$x=\frac{-70±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 100.

$$x=\frac{-70±10}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-70±10}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-70±10}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -70 és 10.

$$x=-\frac{60}{-2}$$

-60 elosztása a következővel: -2.

$$x=30$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-70±10}{-2}). ± előjele negatív. 10 kivonása a következőből: -70.

$$x=-\frac{80}{-2}$$

-80 elosztása a következővel: -2.

$$x=40$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=30 x=40$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (100-x és 30+x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3000+70x-x^{2}=4200$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3000.

$$70x-x^{2}=4200-3000$$

Kivonjuk a(z) 3000 értékből a(z) 4200 értéket. Az eredmény 1200.

$$70x-x^{2}=1200$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+70x=1200$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+70x}{-1}=\frac{1200}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{70}{-1}x=\frac{1200}{-1}$$

70 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-70x=\frac{1200}{-1}$$

1200 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-70x=-1200$$

Elosztjuk a(z) -70 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -35. Ezután hozzáadjuk -35 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-70x+\left(-35\right)^{2}=-1200+\left(-35\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -35.

$$x^{2}-70x+1225=-1200+1225$$

Összeadjuk a következőket: -1200 és 1225.

$$x^{2}-70x+1225=25$$

Tényezőkre x^{2}-70x+1225. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-35\right)^{2}=25$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-35\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-35=5 x-35=-5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 35.

$$x=40 x=30$$