(10+x)(800-20x)=12000 megoldása

$$(10+x)(800-20x)=12000$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=10$$

$$x=20$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (10+x és 800-20x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$8000+600x-20x^{2}=12000$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 12000.

$$8000+600x-20x^{2}-12000=0$$

Kivonjuk a(z) 12000 értékből a(z) 8000 értéket. Az eredmény -4000.

$$-4000+600x-20x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-20x^{2}+600x-4000=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -20 értéket a-ba, a(z) 600 értéket b-be és a(z) -4000 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-600±\sqrt{600^{2}-4\left(-20\right)\left(-4000\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 600.

$$x=\frac{-600±\sqrt{360000-4\left(-20\right)\left(-4000\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -20.

$$x=\frac{-600±\sqrt{360000+80\left(-4000\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 80 és -4000.

$$x=\frac{-600±\sqrt{360000-320000}}{2\left(-20\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 360000 és -320000.

$$x=\frac{-600±\sqrt{40000}}{2\left(-20\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 40000.

$$x=\frac{-600±200}{2\left(-20\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -20.

$$x=\frac{-600±200}{-40}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-600±200}{-40}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -600 és 200.

$$x=-\frac{400}{-40}$$

-400 elosztása a következővel: -40.

$$x=10$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-600±200}{-40}). ± előjele negatív. 200 kivonása a következőből: -600.

$$x=-\frac{800}{-40}$$

-800 elosztása a következővel: -40.

$$x=20$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=10 x=20$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (10+x és 800-20x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$8000+600x-20x^{2}=12000$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8000.

$$600x-20x^{2}=12000-8000$$

Kivonjuk a(z) 8000 értékből a(z) 12000 értéket. Az eredmény 4000.

$$600x-20x^{2}=4000$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-20x^{2}+600x=4000$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -20.

$$\frac{-20x^{2}+600x}{-20}=\frac{4000}{-20}$$

A(z) -20 értékkel való osztás eltünteti a(z) -20 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{600}{-20}x=\frac{4000}{-20}$$

600 elosztása a következővel: -20.

$$x^{2}-30x=\frac{4000}{-20}$$

4000 elosztása a következővel: -20.

$$x^{2}-30x=-200$$

Elosztjuk a(z) -30 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -15. Ezután hozzáadjuk -15 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-30x+\left(-15\right)^{2}=-200+\left(-15\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -15.

$$x^{2}-30x+225=-200+225$$

Összeadjuk a következőket: -200 és 225.

$$x^{2}-30x+225=25$$

Tényezőkre x^{2}-30x+225. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-15\right)^{2}=25$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-15\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-15=5 x-15=-5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$x=20 x=10$$