(1+x/2)(1000-200x)+500(1+x)=14400 megoldása

$$(1+ \frac{ x }{ 2 } )(1000-200x)+500(1+x)=14400$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=4+\sqrt{113}i\approx 4+10,630145813i$$

$$x=-\sqrt{113}i+4\approx 4-10,630145813i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és 1+\frac{x}{2}.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Kifejezzük a hányadost (2\times \frac{x}{2}) egyetlen törtként.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Kiejtjük ezt a két értéket: 2 és 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Felhasználjuk a disztributivitást úgy, hogy a kifejezés (2+x) minden tagját megszorozzuk a másik kifejezés (1000-200x) minden tagjával.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Összevonjuk a következőket: -400x és 1000x. Az eredmény 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 1000 és 1+x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Összeadjuk a következőket: 2000 és 1000. Az eredmény 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Összevonjuk a következőket: 600x és 1000x. Az eredmény 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 28800.

$$3000+1600x-200x^{2}-28800=0$$

Kivonjuk a(z) 28800 értékből a(z) 3000 értéket. Az eredmény -25800.

$$-25800+1600x-200x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-200x^{2}+1600x-25800=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -200 értéket a-ba, a(z) 1600 értéket b-be és a(z) -25800 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{1600^{2}-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1600.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -200.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000+800\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 800 és -25800.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-20640000}}{2\left(-200\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 2560000 és -20640000.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{-18080000}}{2\left(-200\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -18080000.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{2\left(-200\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -200.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1600 és 400i\sqrt{113}.

$$x=\frac{-1600+400\sqrt{113}i}{-400}$$

-1600+400i\sqrt{113} elosztása a következővel: -400.

$$x=-\sqrt{113}i+4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}). ± előjele negatív. 400i\sqrt{113} kivonása a következőből: -1600.

$$x=\frac{-400\sqrt{113}i-1600}{-400}$$

-1600-400i\sqrt{113} elosztása a következővel: -400.

$$x=4+\sqrt{113}i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\sqrt{113}i+4 x=4+\sqrt{113}i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és 1+\frac{x}{2}.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Kifejezzük a hányadost (2\times \frac{x}{2}) egyetlen törtként.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Kiejtjük ezt a két értéket: 2 és 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Felhasználjuk a disztributivitást úgy, hogy a kifejezés (2+x) minden tagját megszorozzuk a másik kifejezés (1000-200x) minden tagjával.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Összevonjuk a következőket: -400x és 1000x. Az eredmény 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 1000 és 1+x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Összeadjuk a következőket: 2000 és 1000. Az eredmény 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Összevonjuk a következőket: 600x és 1000x. Az eredmény 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3000.

$$1600x-200x^{2}=28800-3000$$

Kivonjuk a(z) 3000 értékből a(z) 28800 értéket. Az eredmény 25800.

$$1600x-200x^{2}=25800$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-200x^{2}+1600x=25800$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -200.

$$\frac{-200x^{2}+1600x}{-200}=\frac{25800}{-200}$$

A(z) -200 értékkel való osztás eltünteti a(z) -200 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{1600}{-200}x=\frac{25800}{-200}$$

1600 elosztása a következővel: -200.

$$x^{2}-8x=\frac{25800}{-200}$$

25800 elosztása a következővel: -200.

$$x^{2}-8x=-129$$

Elosztjuk a(z) -8 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -4. Ezután hozzáadjuk -4 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-129+\left(-4\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x^{2}-8x+16=-129+16$$

Összeadjuk a következőket: -129 és 16.

$$x^{2}-8x+16=-113$$

Tényezőkre x^{2}-8x+16. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-4\right)^{2}=-113$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-113}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-4=\sqrt{113}i x-4=-\sqrt{113}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$x=4+\sqrt{113}i x=-\sqrt{113}i+4$$