(-y^2+3y+5=0) megoldása

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és \sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

-3+\sqrt{29} elosztása a következővel: -2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}). ± előjele negatív. \sqrt{29} kivonása a következőből: -3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

-3-\sqrt{29} elosztása a következővel: -2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-y^{2}+3y=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

3 elosztása a következővel: -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

-5 elosztása a következővel: -1.

$$y^{2}-3y=5$$

Elosztjuk a(z) -3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 5 és \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

A(z) y^{2}-3y+\frac{9}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$