(x-4)(3x+6)+(x-4)(12x+48)=0 megoldása

$$( x - 4 ) ( 3 x + 6 ) + ( x - 4 ) ( 12 x + 48 ) = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3,6$$

$$x=4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-4 és 3x+6), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-4 és 12x+48), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Összevonjuk a következőket: 3x^{2} és 12x^{2}. Az eredmény 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Kivonjuk a(z) 192 értékből a(z) -24 értéket. Az eredmény -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$5x^{2}-2x-72=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx-72 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-2 ab=5\left(-72\right)=-360$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -360.

$$1,-360 2,-180 3,-120 4,-90 5,-72 6,-60 8,-45 9,-40 10,-36 12,-30 15,-24 18,-20$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-360=-359 2-180=-178 3-120=-117 4-90=-86 5-72=-67 6-60=-54 8-45=-37 9-40=-31 10-36=-26 12-30=-18 15-24=-9 18-20=-2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -2.

$$a=-20 b=18$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}-2x-72) \left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right)$$

A 5x a második csoportban lévő első és 18 faktort.

$$5x\left(x-4\right)+18\left(x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-4\right)\left(5x+18\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-4=0 és a 5x+18=0.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-4 és 3x+6), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-4 és 12x+48), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Összevonjuk a következőket: 3x^{2} és 12x^{2}. Az eredmény 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Kivonjuk a(z) 192 értékből a(z) -24 értéket. Az eredmény -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 15 értéket a-ba, a(z) -6 értéket b-be és a(z) -216 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-60\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -60 és -216.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+12960}}{2\times 15}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és 12960.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{12996}}{2\times 15}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 12996.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±114}{2\times 15}$$

-6 ellentettje 6.

$$x=\frac{6±114}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 15.

$$x=\frac{6±114}{30}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{6±114}{30}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 6 és 114.

$$x=\frac{120}{30}$$

120 elosztása a következővel: 30.

$$x=4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{6±114}{30}). ± előjele negatív. 114 kivonása a következőből: 6.

$$x=-\frac{108}{30}$$

A törtet (\frac{-108}{30}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{18}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-4 és 3x+6), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-4 és 12x+48), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Összevonjuk a következőket: 3x^{2} és 12x^{2}. Az eredmény 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Kivonjuk a(z) 192 értékből a(z) -24 értéket. Az eredmény -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 216. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$15x^{2}-6x=216$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 15.

$$\frac{15x^{2}-6x}{15}=\frac{216}{15}$$

A(z) 15 értékkel való osztás eltünteti a(z) 15 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{15}\right)x=\frac{216}{15}$$

A törtet (\frac{-6}{15}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{216}{15}$$

A törtet (\frac{216}{15}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{72}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{2}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{72}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{72}{5}+\frac{1}{25}$$

\frac{72}{5} és \frac{1}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{361}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{361}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{19}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{19}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{5}.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$