(x-4)^2*(x+3)^3*(x-1)=0 megoldása

$$( x - 4 ) ^ { 2 } \cdot ( x + 3 ) ^ { 3 } \cdot ( x - 1 ) = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-3$$

$$x=4$$

$$x=1$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-4\right)^{2}).

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x+3\right)^{3}\left(x-1\right)=0$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+3\right)^{3}).

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x^{3}+9x^{2}+27x+27\right)\left(x-1\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x^{2}-8x+16 és x^{3}+9x^{2}+27x+27), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$\left(x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432\right)\left(x-1\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 és x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -432 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 432 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 értéket a(z) x+3 értékkel. Az eredmény x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 144 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±144,±72,±48,±36,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144 értéket a(z) x+3 értékkel. Az eredmény x^{3}-5x^{2}-8x+48. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}-5x^{2}-8x+48=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 48 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±48,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}-5x^{2}-8x+48 értéket a(z) x+3 értékkel. Az eredmény x^{2}-8x+16. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-8x+16=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) 16 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{8±0}{2}$$

Azonosak a megoldások.

$$x=4$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-3 x=4$$