(x-3)^2<2 megoldása

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

A megoldás lépései

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -6 értéket b-be és a(z) 7 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-\left(\sqrt{2}+3\right) és x-\left(3-\sqrt{2}\right)) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-\left(\sqrt{2}+3\right) eredménye pozitív, x-\left(3-\sqrt{2}\right) eredménye pedig negatív.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-\left(3-\sqrt{2}\right) eredménye pozitív, x-\left(\sqrt{2}+3\right) eredménye pedig negatív.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$