(x-3)^2+(x+4)^2=16 megoldása

$$( x - 3 ) ^ { 2 } + ( x + 4 ) ^ { 2 } = 16$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}\approx -0,5+2,061552813i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}\approx -0,5-2,061552813i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-3\right)^{2}).

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+4\right)^{2}).

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és x^{2}. Az eredmény 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

Összevonjuk a következőket: -6x és 8x. Az eredmény 2x.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 16. Az eredmény 25.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 16.

$$2x^{2}+2x+25-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 25 értéket. Az eredmény 9.

$$2x^{2}+2x+9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\times 9}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{4}$$

-2+2i\sqrt{17} elosztása a következővel: 4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{17} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{4}$$

-2-2i\sqrt{17} elosztása a következővel: 4.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-3\right)^{2}).

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+4\right)^{2}).

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és x^{2}. Az eredmény 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

Összevonjuk a következőket: -6x és 8x. Az eredmény 2x.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 16. Az eredmény 25.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 25.

$$2x^{2}+2x=16-25$$

Kivonjuk a(z) 25 értékből a(z) 16 értéket. Az eredmény -9.

$$2x^{2}+2x=-9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{9}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{9}{2}$$

2 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{2}$$

Elosztjuk a(z) 1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{2}+\frac{1}{4}$$

-\frac{9}{2} és \frac{1}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}i}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$