(x-2)^2geq7 megoldása

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

A megoldás lépései

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

A szorzat csak akkor ≥0, ha a két érték (x-\left(\sqrt{7}+2\right) és x-\left(2-\sqrt{7}\right)) egyaránt ≤0 vagy ≥0. Tegyük fel, hogy x-\left(\sqrt{7}+2\right) és x-\left(2-\sqrt{7}\right) eredménye egyaránt ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Tegyük fel, hogy x-\left(\sqrt{7}+2\right) és x-\left(2-\sqrt{7}\right) eredménye egyaránt ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$