(x-1)^3=8 megoldása

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = 8$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=3$$

$$x=\sqrt{3}i\approx 1,732050808i$$

$$x=-\sqrt{3}i\approx -0-1,732050808i$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-1\right)^{3}).

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=8$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-8=0$$

Kivonjuk a(z) 8 értékből a(z) -1 értéket. Az eredmény -9.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-9=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -9 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}-3x^{2}+3x-9 értéket a(z) x-3 értékkel. Az eredmény x^{2}+3. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{0±\sqrt{-12}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}+3=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\sqrt{3}i x=\sqrt{3}i$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=3 x=-\sqrt{3}i x=\sqrt{3}i$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=3$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-1\right)^{3}).

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=8$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-8=0$$

Kivonjuk a(z) 8 értékből a(z) -1 értéket. Az eredmény -9.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-9=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -9 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}-3x^{2}+3x-9 értéket a(z) x-3 értékkel. Az eredmény x^{2}+3. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{0±\sqrt{-12}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=3$$