(x-1)^3=-27 megoldása

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = - 27$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-2$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-1\right)^{3}).

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=-27$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 27.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1+27=0$$

Összeadjuk a következőket: -1 és 27. Az eredmény 26.

$$x^{3}-3x^{2}+3x+26=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 26 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±26,±13,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}-3x^{2}+3x+26 értéket a(z) x+2 értékkel. Az eredmény x^{2}-5x+13. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-5x+13=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) 13 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{5±\sqrt{-27}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=-2$$