(x-1)^2=4x(x-1) megoldása

$$( x - 1 ) ^ { 2 } = 4 x ( x - 1 )$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-1\right)^{2}).

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4x és x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4x^{2}.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -4x^{2}. Az eredmény -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4x.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Összevonjuk a következőket: -2x és 4x. Az eredmény 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -3x^{2}+ax+bx+1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Az egyetlen ilyen pár a rendszermegoldás.

$$a=3 b=-1$$

Átírjuk az értéket (-3x^{2}+2x+1) \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right) alakban.

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Emelje ki a(z) 3x elemet a(z) -3x^{2}+3x kifejezésből.

$$3x\left(-x+1\right)-x+1$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) -x+1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a -x+1=0 és a 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-1\right)^{2}).

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4x és x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4x^{2}.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -4x^{2}. Az eredmény -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4x.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Összevonjuk a következőket: -2x és 4x. Az eredmény 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 16.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$x=\frac{-2±4}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±4}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 4.

$$x=\frac{2}{-6}$$

A törtet (\frac{2}{-6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±4}{-6}). ± előjele negatív. 4 kivonása a következőből: -2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

-6 elosztása a következővel: -6.

$$x=1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{1}{3} x=1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-1\right)^{2}).

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4x és x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4x^{2}.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -4x^{2}. Az eredmény -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4x.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Összevonjuk a következőket: -2x és 4x. Az eredmény 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$-3x^{2}+2x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{1}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{1}{-3}$$

2 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{-3}$$

-1 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{2}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

\frac{1}{3} és \frac{1}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{3}.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$