(x)=3x^2-7x+2 megoldása

$$( x ) = 3 x ^ { 2 } - 7 x + 2$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{10} + 4}{3} \approx 2,387425887$$

$$x=\frac{4-\sqrt{10}}{3}\approx 0,27924078$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{2}.

$$x-3x^{2}=-7x+2$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 7x.

$$x-3x^{2}+7x=2$$

Összevonjuk a következőket: x és 7x. Az eredmény 8x.

$$8x-3x^{2}=2$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2.

$$8x-3x^{2}-2=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-3x^{2}+8x-2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) 8 értéket b-be és a(z) -2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+12\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és -2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-24}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és -24.

$$x=\frac{-8±\sqrt{40}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 40.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -8 és 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-8}{-6}$$

-8+2\sqrt{10} elosztása a következővel: -6.

$$x=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{-6}). ± előjele negatív. 2\sqrt{10} kivonása a következőből: -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-8}{-6}$$

-8-2\sqrt{10} elosztása a következővel: -6.

$$x=\frac{\sqrt{10}+4}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{4-\sqrt{10}}{3} x=\frac{\sqrt{10}+4}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{2}.

$$x-3x^{2}=-7x+2$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 7x.

$$x-3x^{2}+7x=2$$

Összevonjuk a következőket: x és 7x. Az eredmény 8x.

$$8x-3x^{2}=2$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-3x^{2}+8x=2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3x^{2}+8x}{-3}=\frac{2}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{8}{-3}x=\frac{2}{-3}$$

8 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{2}{-3}$$

2 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{8}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{2}{3}+\frac{16}{9}$$

-\frac{2}{3} és \frac{16}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{10}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{10}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$$