(x)=3(x-5)(x+3) megoldása

$$( x ) = 3 ( x - 5 ) ( x + 3 )$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{589} + 7}{6} \approx 5,2115537$$

$$x=\frac{7-\sqrt{589}}{6}\approx -2,878220367$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3 és x-5.

$$x=\left(3x-15\right)\left(x+3\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-15 és x+3), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x=3x^{2}-6x-45$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{2}.

$$x-3x^{2}=-6x-45$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 6x.

$$x-3x^{2}+6x=-45$$

Összevonjuk a következőket: x és 6x. Az eredmény 7x.

$$7x-3x^{2}=-45$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 45.

$$7x-3x^{2}+45=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-3x^{2}+7x+45=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) 7 értéket b-be és a(z) 45 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-3\right)\times 45}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-3\right)\times 45}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+12\times 45}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és 45.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+540}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 540.

$$x=\frac{-7±\sqrt{589}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{589}}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±\sqrt{589}}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -7 és \sqrt{589}.

$$x=\frac{\sqrt{589}-7}{-6}$$

-7+\sqrt{589} elosztása a következővel: -6.

$$x=\frac{7-\sqrt{589}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±\sqrt{589}}{-6}). ± előjele negatív. \sqrt{589} kivonása a következőből: -7.

$$x=\frac{-\sqrt{589}-7}{-6}$$

-7-\sqrt{589} elosztása a következővel: -6.

$$x=\frac{\sqrt{589}+7}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{7-\sqrt{589}}{6} x=\frac{\sqrt{589}+7}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3 és x-5.

$$x=\left(3x-15\right)\left(x+3\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-15 és x+3), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x=3x^{2}-6x-45$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{2}.

$$x-3x^{2}=-6x-45$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 6x.

$$x-3x^{2}+6x=-45$$

Összevonjuk a következőket: x és 6x. Az eredmény 7x.

$$7x-3x^{2}=-45$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-3x^{2}+7x=-45$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3x^{2}+7x}{-3}=-\frac{45}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{7}{-3}x=-\frac{45}{-3}$$

7 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{45}{-3}$$

-45 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=15$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{6}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=15+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=15+\frac{49}{36}$$

Összeadjuk a következőket: 15 és \frac{49}{36}.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{589}{36}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{589}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{589}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{589}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{589}}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{6}.

$$x=\frac{\sqrt{589}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{589}}{6}$$