(x^2-4)^3=0 megoldása

$$( x ^ { 2 } - 4 ) ^ { 3 } = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2$$

$$x=-2$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x^{2}-4\right)^{3}).

$$\left(x^{2}\right)^{3}-12\left(x^{2}\right)^{2}+48x^{2}-64=0$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 3 szorzata 6.

$$x^{6}-12\left(x^{2}\right)^{2}+48x^{2}-64=0$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$x^{6}-12x^{4}+48x^{2}-64=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -64 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{6}-12x^{4}+48x^{2}-64 értéket a(z) x-2 értékkel. Az eredmény x^{5}+2x^{4}-8x^{3}-16x^{2}+16x+32. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{5}+2x^{4}-8x^{3}-16x^{2}+16x+32=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 32 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{5}+2x^{4}-8x^{3}-16x^{2}+16x+32 értéket a(z) x-2 értékkel. Az eredmény x^{4}+4x^{3}-16x-16. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{4}+4x^{3}-16x-16=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -16 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}+4x^{3}-16x-16 értéket a(z) x-2 értékkel. Az eredmény x^{3}+6x^{2}+12x+8. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+6x^{2}+12x+8=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 8 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+6x^{2}+12x+8 értéket a(z) x+2 értékkel. Az eredmény x^{2}+4x+4. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+4x+4=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-4±0}{2}$$

Azonosak a megoldások.

$$x=-2$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=2 x=-2$$