(x+4)^2+(x+6)^2=100 megoldása

$$( x + 4 ) ^ { 2 } + ( x + 6 ) ^ { 2 } = 100$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-12$$

$$x=2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+4\right)^{2}).

$$x^{2}+8x+16+\left(x+6\right)^{2}=100$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+6\right)^{2}).

$$x^{2}+8x+16+x^{2}+12x+36=100$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és x^{2}. Az eredmény 2x^{2}.

$$2x^{2}+8x+16+12x+36=100$$

Összevonjuk a következőket: 8x és 12x. Az eredmény 20x.

$$2x^{2}+20x+16+36=100$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 36. Az eredmény 52.

$$2x^{2}+20x+52=100$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 100.

$$2x^{2}+20x+52-100=0$$

Kivonjuk a(z) 100 értékből a(z) 52 értéket. Az eredmény -48.

$$2x^{2}+20x-48=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x^{2}+10x-24=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-24 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=10 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 10.

$$a=-2 b=12$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+10x-24) \left(x^{2}-2x\right)+\left(12x-24\right) alakban.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(12x-24\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 12 faktort.

$$x\left(x-2\right)+12\left(x-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-2\right)\left(x+12\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-2=0 és a x+12=0.

$$x=2 x=-12$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+4\right)^{2}).

$$x^{2}+8x+16+\left(x+6\right)^{2}=100$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+6\right)^{2}).

$$x^{2}+8x+16+x^{2}+12x+36=100$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és x^{2}. Az eredmény 2x^{2}.

$$2x^{2}+8x+16+12x+36=100$$

Összevonjuk a következőket: 8x és 12x. Az eredmény 20x.

$$2x^{2}+20x+16+36=100$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 36. Az eredmény 52.

$$2x^{2}+20x+52=100$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 100.

$$2x^{2}+20x+52-100=0$$

Kivonjuk a(z) 100 értékből a(z) 52 értéket. Az eredmény -48.

$$2x^{2}+20x-48=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 20 értéket b-be és a(z) -48 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 2\left(-48\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 2\left(-48\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-8\left(-48\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és 384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 784.

$$x=\frac{-20±28}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-20±28}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±28}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -20 és 28.

$$x=\frac{8}{4}$$

8 elosztása a következővel: 4.

$$x=2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±28}{4}). ± előjele negatív. 28 kivonása a következőből: -20.

$$x=-\frac{48}{4}$$

-48 elosztása a következővel: 4.

$$x=-12$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2 x=-12$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+4\right)^{2}).

$$x^{2}+8x+16+\left(x+6\right)^{2}=100$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+6\right)^{2}).

$$x^{2}+8x+16+x^{2}+12x+36=100$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és x^{2}. Az eredmény 2x^{2}.

$$2x^{2}+8x+16+12x+36=100$$

Összevonjuk a következőket: 8x és 12x. Az eredmény 20x.

$$2x^{2}+20x+16+36=100$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 36. Az eredmény 52.

$$2x^{2}+20x+52=100$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 52.

$$2x^{2}+20x=100-52$$

Kivonjuk a(z) 52 értékből a(z) 100 értéket. Az eredmény 48.

$$2x^{2}+20x=48$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+20x}{2}=\frac{48}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{20}{2}x=\frac{48}{2}$$

20 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}+10x=\frac{48}{2}$$

48 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}+10x=24$$

Elosztjuk a(z) 10 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 5. Ezután hozzáadjuk 5 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+10x+5^{2}=24+5^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$x^{2}+10x+25=24+25$$

Összeadjuk a következőket: 24 és 25.

$$x^{2}+10x+25=49$$

Tényezőkre x^{2}+10x+25. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+5\right)^{2}=49$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+5=7 x+5=-7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$x=2 x=-12$$