(x+3)^2-(2x-1)^2=16 megoldása

$$( x + 3 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+3\right)^{2}).

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x-1\right)^{2}).

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

4x^{2}-4x+1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -4x^{2}. Az eredmény -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Összevonjuk a következőket: 6x és 4x. Az eredmény 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 9 értéket. Az eredmény 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 16.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 8 értéket. Az eredmény -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -3x^{2}+ax+bx-8 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=10 ab=-3\left(-8\right)=24$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 10.

$$a=6 b=4$$

Átírjuk az értéket (-3x^{2}+10x-8) \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right) alakban.

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és -4 faktort.

$$3x\left(-x+2\right)-4\left(-x+2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) -x+2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(-x+2\right)\left(3x-4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a -x+2=0 és a 3x-4=0.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+3\right)^{2}).

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x-1\right)^{2}).

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

4x^{2}-4x+1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -4x^{2}. Az eredmény -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Összevonjuk a következőket: 6x és 4x. Az eredmény 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 9 értéket. Az eredmény 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 16.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 8 értéket. Az eredmény -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -8 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és -8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és -96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 4.

$$x=\frac{-10±2}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$x=\frac{-10±2}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±2}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 2.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

A törtet (\frac{-8}{-6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{4}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±2}{-6}). ± előjele negatív. 2 kivonása a következőből: -10.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

-12 elosztása a következővel: -6.

$$x=2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{4}{3} x=2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+3\right)^{2}).

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x-1\right)^{2}).

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

4x^{2}-4x+1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -4x^{2}. Az eredmény -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Összevonjuk a következőket: 6x és 4x. Az eredmény 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 9 értéket. Az eredmény 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8.

$$-3x^{2}+10x=16-8$$

Kivonjuk a(z) 8 értékből a(z) 16 értéket. Az eredmény 8.

$$-3x^{2}+10x=8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3x^{2}+10x}{-3}=\frac{8}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{10}{-3}x=\frac{8}{-3}$$

10 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{-3}$$

8 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{10}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

-\frac{8}{3} és \frac{25}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{1}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{3}.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$